*Ceci n’est que la suite du premier article de blog intitulé « Modélisation d’un investisseur averse au risque sur le marché boursier Pt. 2 ». *
Trouver une borne supérieure pour notre heuristique :
Pour approximer la borne supérieure, prenons J –> ∞ et ne pas inclure le cas d’investissement# 1 car c’est un cas particulier alors on a :
Ci-dessus, nous avons décalé l’indice de r de 1. Il doit maintenant avoir une valeur initiale de r = 2 assurant que le premier taux est égal à ½.
On peut faire un autre tableau pour comprendre intuitivement ce que cela représente :
| ROI basé sur la période dans laquelle nous avons investi (1/r) | Somme de chaque investissement | |||||
| Retour sur investissement de la période 1 | Retour sur investissement de la période 2 | ROI de la période 3 | Retour sur investissement de la période 4 | Période J | ||
| *CAS PARTICULIER* | 1 $/1 | 1 $/1 | 1 $/1 | 1 $/1 | + … | 1+1+1+1 + … = $J |
| Investissement #1 | 1/2 $ | 1/4 $ | 1/8 $ | 1/16 $ | + … | ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … = 2,00 $ |
| Investissement #2 | 1/3 $ | 1/9 $ | 1/27 $ | 1/81 $ | + … | 1/3 $ + 1/9 $ + 1/27 $ + …= 3/2 $ |
| Investissement #3 | 1/4 $ | 1/16 $ | 1/64 $ | 1 $/256 | + … | 1/4 $ = 4/3 $ |
| Somme totale de tous les investissements ~$4.33 + $J |
Tableau 2. Le tableau affiche les X nombre d’investissements qui accumulent de la valeur sur une durée infinie J point final. Dans notre modèle, nous avions X = J d’où le réglage J à l’infini est une surapproximation évidente. La forme produite par les cellules est rectangulaire (J X X) où, comme dans le vrai modèle, il est triangulaire ~1/2(J X X).
Ainsi, nous pouvons clairement voir que:
L’investissement #1 produit -> $J
L’investissement #2 produit -> 2 $/1
Investissement 3 $ produit -> 3 $/2
Investissement 4 $ produit -> 4 $/3
Par induction, nous pouvons voir que le modèle de la somme de chaque investissement # – à l’exception du premier investissement – suit un joli modèle. Supprimons l’investissement et décalons l’indice des investissements d’un point.
Le cas spécial #0 produit -> $J
L’investissement #1 produit -> 2 $/1
L’investissement #2 produit -> $3/2
Investissement 3 $ produit -> 4 $/3
Investissement 4 $ produit -> 5 $/4
Ainsi pour un grand nombre d’investissements J on trouve :
De la littérature, nous pouvons conclure que cela se rapproche de
Revenons donc à notre fonction originale F(X, J) pour trouver la somme de l’investissement que nous obtenons :
Recherche de la borne inférieure :
Je vais rendre cela inexact mais simple. Nous dirons simplement que K est la somme partielle de la série harmonique. Si vous faites référence aux tableaux, cela est évidemment vrai. La représentation en série de la diagonale commençant à la cellule (1,1) allant à la cellule (X, J) donc la borne inférieure est :
Pertinence dans la vraie vie :
Ce modèle représente plus précisément l’investissement initial réel n’est pas un simple 0,50 $. Nous pouvons simplement résoudre ce problème en multipliant notre valeur d’investissement initiale par une constante UNE pour obtenir un gros investissement initial. Cela revient à écrire pour la borne supérieure :
Soit la borne inférieure :
Disons que A = 10 000 et que la période d’investissement dure 10 ans.,
Nous aurons pour l’investissement initial 0,50 $ * 10 000 = 5 000 $. Nous pouvons nous attendre à ce que notre rendement soit à peu près limité par : (2,93 $)*10 000 < valeur du portefeuille < (12,93 $)*10 000
29 300 $ < valeur du portefeuille < 129 300 $
La limite inférieure est évidemment grossièrement erronée et, par conséquent, le minimum devrait être plus élevé. En ce qui concerne le rendement maximal, il semble possible qu’un investissement conservateur donne un rendement annuel de 38,4 %. Même si cette limite maximale semble élevée par rapport à la norme de 10 à 12 % prévue pour l’année en cours, elle n’est pas inconnue. Il existe au moins 100 ETF, dont beaucoup sont cotés en bourse.
Si nous voulions une réponse plus réaliste, nous devons inclure plus de paramètres. Nous pourrions l’un ou l’autre des correctifs suivants :
- Trouvez une approximation de la borne inférieure plus précise et/ou trouvez la solution sous forme fermée.
- Multipliez la série par (-1)^n nous donnant des oscillations. Cela représenterait la volatilité qui se produit sur les marchés réels.
Un exemple #2 serait :
Année 1 : + 0,50 $
Année 2 : -0,25 $ + 0,33 $
Année 3 : + 0,125 $ – 0,11 $ + 0,25 $
Etc.
Une autre question intéressante serait de savoir si les investissements étaient sporadiques. Cela pourrait être un modèle explicite pour que les actions ne soient achetées qu’en premier année d’investissement 1/premier dollars par action (c.-à-d. 2, 3, 5, 7, 11 pour 1/2 $, 1/3 $, 1/5 $, 1/7 $, 11 $, respectivement). Vous ajoutez même théoriquement la cerise sur le gâteau et le modèle de force inclut également l’oscillation. Cette heuristique serait la plus précise mais la plus difficile à calculer – bien au-delà de la portée de ce blog.
Si vous avez lu jusqu’ici, je vous félicite. Si vous avez lu jusqu’ici et compris ce qui a été dit, donnez-vous une tape dans le dos et une salve d’applaudissements en même temps (c’est impossible de faire ça) pour être un lecteur assidu. Je publierai une partie III si je peux fournir une solution sous forme fermée à l’équation en haut de cette page, ou présenter une pertinence plus économique du modèle.
~ Ben
