Modélisation d’un investisseur averse au risque sur le marché boursier Pt. 1 : – Économie solide

Supposons que quelqu’un veuille investir en bourse, comment approcheriez-vous la modélisation d’un individu investissant dans cette classe d’actifs ?

La classe d’actifs particulière ici est les actions. Nous ferons des hypothèses intuitives sur le marché boursier et sur la façon dont une personne averse au risque opère sur le marché boursier. Ensuite, nous essaierons de transformer ces hypothèses pour en faire une heuristique simple. Cette heuristique générera alors une valeur numérique que nous décrirons en termes se situant entre une limite supérieure et inférieure. Faisons les hypothèses

Création des hypothèses :

  1. Le retour sur investissement des actions diminuera au fil du temps en raison de l’augmentation de la capitalisation boursière. La croissance des marchés boursiers est essentiellement logarithmique et ce modèle peut être approché par le ln(x).
  2. Le montant total du capital investi devrait diminuer au fil du temps, car une personne averse au risque ne veut pas investir dans un type d’actif.
  3. Une personne averse au risque investira dans des actions moins risquées à mesure qu’elle vieillit, d’où moins de retour par investissement réalisé

Heuristique – Règles basées sur des hypothèses :

  1. Vous investissez dans une action unique par an
  2. Vous investissez une valeur en dollars exactement inversement proportionnelle à l’année où vous avez investi. Par exemple, la 3e année, vous investissez (1/3) $ ou 0,33 $ en bourse. La 4e année, vous investissez (1/4) $ ou 0,25 $ en bourse. La 5e année, vous investiriez (1/5) $ ou 0,20 $ en bourse
  3. Chaque action individuelle investie a un retour sur investissement décroissant d’exactement * (1/valeur initiale) par an.

C’est une bouchée pleine alors utilisons un exemple pour illustrer cela. Supposons qu’un investisseur en soit à sa troisième année d’investissement. Cela signifie que la dernière action investie aurait une valeur initiale de (1/3) $ à 33 cents. À la fin de la quatrième année, le rendement de l’action serait = valeur initiale + valeur initiale *(1/an investi) = $(1/3) + $(1/3)(1/3) =$.44

Puisque nous savons d’après la règle A. que nous avons investi dans une action la deuxième année, la valeur de l’action de l’année 2 serait de (1/2) $ + (1/2) $ (1/2) + (1/2) $ (1 /2)(1/2) = 0,875 $

L’action #2 a exactement un an de plus de rendement diminué car elle a été achetée exactement un an avant l’action #3.

*Remarque : nous ignorons la quantité d’actions que l’investisseur détient dans une action particulière. Cela semble correct car dans la vraie vie, il existe de nombreuses actions avec une gamme de prix diversifiée. Des actions à bas prix et à faible niveau de risque coexistent avec des actions à prix élevé et à haut risque. Ils sont rares, mais ils existent.

Avec ces conditions, nous satisfaisons les hypothèses #1, #2, #3. Nous investissons moins d’argent par action unique d’année en année (#2). La prochaine action investie l’année suivante aura des rendements diminués (#3). La croissance des actions est liée au multiple de l’année investie et croît donc géométriquement au fil du temps (#1).

Intuition pour les règles :

  1. La première chose à aborder est le taux de changement. Un taux de variation géométrique est un moyen logique de modéliser le marché boursier, car la capitalisation boursière suit une progression logarithmique et donc un retour sur investissement décroissant. Un taux de changement géométrique résumé au fil du temps modélise étroitement ln(x) en supposant qu’il ne s’agit pas d’un laps de temps insondable.
  • Le deuxième point porte sur la diminution des investissements initiaux au fil du temps. C’est vrai, nous parlons de la somme principale investie. Le fait que j’ai choisi le montant principal par investissement pour diminuer les heures supplémentaires à 1/x est quelque peu arbitraire. Si cela est censé être un plan d’investissement facile à suivre, investir 1/(numéro d’investissement) semble facile à retenir et à utiliser dans la pratique. Il est parfaitement acceptable pour quelqu’un d’investir par période de temps à un taux linéaire, par exemple (1 $ pour le premier investissement, 0,9 $ pour le deuxième investissement, 0,8 $ pour le troisième investissement, etc.). Pour moi, il est plus judicieux d’investir plus d’argent plus tôt et moins plus tard que de prendre plus de risques quand on est plus jeune et moins de risques quand on est plus âgé.
  • Le fait que le taux de retour sur investissement diminue semble juste car les gens ont généralement tendance à devenir plus conservateurs en vieillissant. Par conséquent, non seulement les gens investiront moins, mais ils investiront dans des options sur actions moins risquées. Modéliser le taux de retour sur investissement décroissant proportionnellement à l’investissement principal prend donc tout son sens dans ce contexte.

Exemple de règles d’application de cas :

Nous pouvons en faire un tableau pour mieux visualiser le problème. Faisons le tableau en fonction de deux variables car nous avons deux choses qui changent par an : l’argent gagné par an par action et le nombre total d’investissements que nous possédons.

Supposons que nous ayons appliqué l’heuristique pendant quatre ans, alors nous pouvons nous rapprocher de ce que serait la somme totale de notre portefeuille.

*Profit basé sur la période dans laquelle nous avons investi* Somme de chaque investissement
Bénéfice de l’année 1 Bénéfice de l’année 2 Bénéfice de l’année 3 Bénéfice de l’année 4
Stock #1 1 $/1 1 $/1 1 $/1 1 $/1 1 $ + 1 $ + 1 $ + 1 $ = 4,00 $
Stock #2 0 $ 1/2 $ 1/4 $ 1/8 $ 1/2 $ + 1/8 $ = 0,875 $
Stock #3 0 $ 0 $ 1/3 $ 1/9 $ 1/3 $ + 1/9 $ = 0,44 $
Stock #4 0 $ 0 $ 0 $ 1/4 $ 1/4 $ = 0,25 $
Somme totale de tous les investissements = 5,565 $

Tableau 1. Somme de la valeur nette totale de nos investissements après 4 ans. Pour chaque nouvelle année, nous recevons un retour sur les stocks précédemment achetés et nous ajoutons un nouveau stock à notre collection. Les rendements sont fonction de l’année totale (J) qui s’est écoulée avec le nombre d’investissements investis dans (X) où X = J.

Analysons d’abord le tableau en commençant par le premier investissement à la première période de ROI. En descendant la première colonne, on voit qu’il y a beaucoup de zéros. Ces zéros signifient qu’aucun argent n’a encore été investi dans l’action. Notez que si nous excluons les zéros, le motif géométrique de notre tendance semble triangulaire – ce qui est mis en évidence pour plus de clarté.

Dans les cellules non vides, le changement par cellule correspond simplement au dénominateur de la cellule précédente moins un. Cela suit notre heuristique car nous avons déclaré que l’argent initial mis sur l’investissement est l’inverse de l’année où nous avons investi (par exemple, l’année #2, nous avons investi (1/an #) à (1/an 2) à (1/2) à 0,50 $).

En parcourant n’importe quelle ligne, nous obtenons des rendements diminués exactement du montant dans lequel nous investissons. Excluez les cas où 0 $ se transforme en investissement principal. Techniquement, aucun taux ne peut être multiplié par 0 $ pour produire une valeur non nulle l’année suivante. Ce tableau n’est qu’une convention. On peut écrire cette tendance en notation mathématique où transformation où X = J.

Représentation mathématique du tableau d’exemple :

F(X,J) représente la somme totale vue sur la colonne de droite du tableau. Bien que je ne puisse pas donner de solution exacte sous forme fermée pour le moment, je peux fournir une limite supérieure approximative lorsque nous investissons dans un plus grand nombre d’actions sur un grand nombre d’années. Pour l’instant, considérez cette équation comme vraie. Je vais essayer de le prouver avec une solution de formulaire fermé dans un futur post. Si vous parlez avec un ami et cet article de blog et qu’il s’intéresse à la façon dont vous avez dérivé cette équation, ondulation saluez-les puis éloignez-vous (comme je suis en train d’écarter cette preuve).

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